Корень n-й степени онлайн
Возведение числа в степень и извлечение корней — квадратного, кубического и корня любой степени. Для каждого расчёта показывает формулу с надстрочным показателем и проверку обратной операцией.
О калькуляторе
Страница для извлечения корня произвольной целой степени n — ⁿ√a. Показатель n должен быть целым числом от 2 и выше: ⁴√81 = 3, ⁵√32 = 2, ¹⁰√1024 = 2. Для n = 2 получаем квадратный корень, для n = 3 — кубический (эти случаи есть отдельными режимами: квадратный корень и кубический корень). Обратная операция — возведение в степень n.
Ключевое правило области определения: для чётного n подкоренное число должно быть неотрицательным (иначе получится корень чётной степени из отрицательного, а он не определён в вещественных числах). Для нечётного n подкоренное может быть любым, знак сохраняется: ⁵√(−32) = −2, потому что (−2)⁵ = −32. Дробный показатель n в этом режиме не поддерживается — если нужна дробная степень 1/n, воспользуйтесь режимом возведения в степень с показателем 1/n.
Самое известное применение — среднее геометрическое. Для n значений оно равно ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ). Пример: годовые доходности вклада 5 %, 8 % и 12 % дают среднюю не «8,33 %» (это среднее арифметическое), а ³√(1,05·1,08·1,12) − 1 ≈ 8,31 %. Для подробного расчёта средних значений есть отдельный калькулятор среднего геометрического. Второе применение — решение уравнений вида xⁿ = a: единственное вещественное решение при нечётном n — ⁿ√a; при чётном n и a ≥ 0 решений два: ±ⁿ√a (калькулятор выводит положительное значение). Третье — расчёты по среднегодовому росту: если сумма выросла в k раз за n лет, среднегодовой рост — это ⁿ√k − 1.
Как считаем
Корень n-й степени (⁴√81 = 3)
Обозначения. ⁿ√a — корень n-й степени из a: число x, что xⁿ = a. Степень корня n — целое, не меньше 2 (при n = 2 получается квадратный корень, при n = 3 — кубический). Для чётного n подкоренное должно быть неотрицательным (⁴√(−16) не определено в вещественных). Для нечётного n корень определён при любом a, знак сохраняется: ⁵√(−32) = −2.
Формула: ⁿ√a = x, где xⁿ = a
Как посчитать пошагово.
- Задайте подкоренное a и степень корня n (целое, n ≥ 2).
- Если n чётное — a должно быть неотрицательным. Если n нечётное — a любое.
- Калькулятор возвращает ⁿ√a и обратную проверку: xⁿ должно совпасть с a.
Пример. ⁴√81 = 3 (3⁴ = 81), ⁵√32 = 2 (2⁵ = 32), ⁵√(−32) = −2 — нечётная степень сохраняет знак. ⁴√(−16) — ошибка: чётная степень из отрицательного не определена в вещественных числах. ¹⁰√1024 = 2.
Что важно. Через корни выражается любая дробная степень: a^(1/n) = ⁿ√a, а a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Отрицательное число нельзя возводить в дробную степень в вещественных числах — результат уходит в комплексную плоскость. Обратная операция для возведения в степень n — извлечение корня той же степени.
Частые вопросы
Как выбрать степень корня n для формулы среднего геометрического?
Степень корня всегда равна числу значений в выборке. Для трёх годовых доходностей — кубический корень (n = 3), для пяти лет — корень пятой степени, для десяти — десятой. Формула: среднее геометрическое = ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ). Пример: доходности за 4 года составили 6 %, 10 %, −3 %, 8 %. Считаем: ⁴√(1,06·1,10·0,97·1,08) − 1 ≈ 5,18 %. Готовый расчёт для любой серии — в калькуляторе среднего геометрического.
Почему ⁴√(−16) не считается, а ⁵√(−32) считается?
Чётный корень (n = 2, 4, 6…) из отрицательного числа не определён в вещественных: при возведении любого вещественного в чётную степень получается неотрицательное число. Уравнение x⁴ = −16 не имеет вещественных решений. Нечётный корень (n = 3, 5, 7…) работает для любого подкоренного: ⁵√(−32) = −2, потому что (−2)⁵ = −32. Знак сохраняется, потому что при нечётном числе множителей минус остаётся. Общее правило: чётные корни — только из неотрицательных, нечётные — из любых.
Как посчитать среднегодовой рост за 5 лет?
Если сумма выросла в k раз за n лет, среднегодовой рост (в долях) = ⁿ√k − 1. Пример: вклад вырос со 100 до 150 тыс за 5 лет, то есть k = 1,5. Среднегодовой рост: ⁵√1,5 − 1 ≈ 0,0845 = 8,45 %. Это ставка сложного процента, которая дала бы такой же результат за 5 лет. Проверка: 100 000·(1,0845)⁵ ≈ 150 000. Для отдельного расчёта процентной ставки удобен калькулятор процентов.
В чём разница между ⁿ√a и a^(1/n)?
Математически это одно и то же: корень n-й степени равен дробной степени 1/n. ⁴√81 = 81^(1/4) = 3. Разница только в записи и в области применения. Форма «ⁿ√a» удобна для целого n ≥ 2 и любого знака подкоренного при нечётном n. Форма «a^(1/n)» удобна для неотрицательных a и произвольных дробных показателей (1/2,5, 1/π и т. п.). В калькуляторе первый вариант — в режиме «корень n-й степени», второй — в режиме возведения в степень с дробным показателем.