Квадратный корень онлайн
Возведение числа в степень и извлечение корней — квадратного, кубического и корня любой степени. Для каждого расчёта показывает формулу с надстрочным показателем и проверку обратной операцией.
О калькуляторе
Страница для извлечения квадратного корня из неотрицательного числа — √a. Обратная операция к возведению в квадрат: если a² = b, то √b = a. Работает для любого a ≥ 0 — целого, дробного, большого или очень малого. Из отрицательного числа квадратный корень в вещественных числах не извлекается, и калькулятор выдаст понятную ошибку. Обратный расчёт «число в квадрат» доступен в режиме возведения в степень.
Три классических применения. Теорема Пифагора: гипотенуза прямоугольного треугольника c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 получается √25 = 5 — знаменитый «египетский» треугольник. Диагональ квадрата со стороной a равна a·√2 ≈ 1,414·a; для комнаты 3×3 м диагональ 4,243 м. Сторона квадрата, площадь которого известна: a = √S — если участок площадью 400 м² квадратный, его сторона 20 м. Для расчётов площадей неквадратных фигур пригодится калькулятор площади.
В статистике квадратный корень — обязательный шаг при вычислении среднеквадратичного (стандартного) отклонения: σ = √(дисперсия). Дисперсия — среднее квадратов отклонений от среднего, а корень возвращает результат в исходную размерность (не «в квадрате»). Проверка расчёта: возведите ответ в квадрат — должно выйти исходное подкоренное число. √50 ≈ 7,071, потому что 7,071² ≈ 50. Точное значение для √50 равно 5√2 — иррациональное число, поэтому в десятичной записи всегда будет округление в последних знаках, это норма, а не ошибка расчёта.
Как считаем
Квадратный корень (√9 = 3)
Обозначения. √a — квадратный корень из числа a, читается «корень из a». Это такое число x, что x² = a. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9. По соглашению обозначение √ подразумевает арифметический корень — только неотрицательный (хотя формально уравнение x² = 9 имеет два корня: 3 и −3).
Формула: √a = x, где x ≥ 0 и x² = a
Как посчитать пошагово.
- Задайте подкоренное a. Оно должно быть неотрицательным: √отрицательного в вещественных числах не определён.
- Калькулятор возвращает арифметический корень и обратную проверку (x² должно совпасть с a).
- Для «геометрического» смысла: √a — длина стороны квадрата, площадь которого равна a. Отсюда название «квадратный».
Пример. √9 = 3, √25 = 5, √100 = 10 — точные значения. √2 ≈ 1,414214 — иррациональное число (бесконечная непериодическая дробь), калькулятор округляет до 6 знаков. √0 = 0. √(−4) — ошибка: не определено в вещественных.
Что важно. Квадратный корень часто нужен в геометрии — например, при поиске стороны квадрата по известной площади или гипотенузы по теореме Пифагора: c = √(a² + b²). Если a — не квадрат целого числа, результат будет иррациональным.
Частые вопросы
Почему √(−9) не существует, а ∛(−27) есть?
Квадратный корень — это число, которое при возведении в квадрат даёт подкоренное. Квадрат любого вещественного числа (и положительного, и отрицательного) всегда неотрицателен: 3² = 9 и (−3)² = 9. Значит, никакое вещественное число не даст в квадрате −9 — и √(−9) не определён. С кубом иначе: (−3)³ = −27, потому что три множителя со знаком минус дают отрицательный результат. Поэтому ∛(−27) = −3 — расчёт корректен. Общее правило: чётные корни работают только для неотрицательных чисел, нечётные — для любых.
Как посчитать диагональ прямоугольника через квадратный корень?
По теореме Пифагора: d = √(a² + b²), где a и b — стороны. Прямоугольник 6×8: √(36 + 64) = √100 = 10. Прямоугольник 12×5: √(144 + 25) = √169 = 13. Прямоугольник 3×4 м: √(9 + 16) = √25 = 5 м. Формула работает и для комнат, и для монитора (диагональ 27" по сторонам матрицы), и для любого прямоугольного плана. Для расчёта площади того же прямоугольника нужны только сами стороны — a·b.
Что делать, если результат — иррациональное число?
Извлечь √2, √3, √5, √7 в точной записи нельзя — это иррациональные числа, их десятичная запись бесконечна и не периодична. Калькулятор возвращает приближение до 6 знаков после запятой: √2 ≈ 1,414214, √3 ≈ 1,732051, √5 ≈ 2,236068. Для инженерных расчётов четырёх-пяти знаков достаточно, для строительных чертежей обычно оставляют 2–3. Если нужна точная запись, используйте символьную форму: √50 = 5√2, √18 = 3√2 — так пишут в задачах по геометрии, где важна не численная оценка, а точное значение.
Как посчитать сторону квадрата, если известна площадь?
Сторона квадрата равна квадратному корню из площади: a = √S. Комната площадью 16 м² имеет сторону √16 = 4 м. Участок 900 м² — √900 = 30 м. Для нецелых значений: 50 м² → √50 ≈ 7,07 м. Обратная задача (найти площадь по стороне) решается возведением в квадрат: 5² = 25 м². Для прямоугольных и других фигур используйте калькулятор площади.