Возведение числа в степень онлайн
Возведение числа в степень и извлечение корней — квадратного, кубического и корня любой степени. Для каждого расчёта показывает формулу с надстрочным показателем и проверку обратной операцией.
О калькуляторе
Страница для возведения любого вещественного числа в произвольную степень: aⁿ. Работает с целыми, дробными, отрицательными основаниями и любыми показателями — от нулевой степени до сложных дробных. Для кратных случаев есть пресет 2 в степени n (степени двойки для программистов), для обратной операции — квадратный, кубический или корень n-й степени в других режимах этого калькулятора.
Возведение в степень встречается в трёх основных сценариях. Первый — сложный процент: сумма·(1+r)ⁿ, где r — ставка за период, n — число периодов. Вклад 100 000 ₽ под 8 % годовых с ежегодной капитализацией за 5 лет: 100 000·(1,08)⁵ ≈ 146 933 ₽. Второй — геометрия: площадь круга π·r², объём куба a³, объём шара (4/3)·π·r³. Третий — физика и статистика: энергия конденсатора C·U²/2, кинетическая — m·v²/2, дисперсия — среднее квадратов отклонений.
Особые случаи, за которыми калькулятор следит автоматически. 0⁰ — математическая неопределённость: возвращается ошибка. Отрицательное основание в дробной степени в вещественных числах не определено — (−4)^0,5 = √(−4) не существует. Ноль в положительной степени — всегда ноль; любое число (кроме нуля) в нулевой степени — единица. Отрицательный показатель — обратная величина: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, поэтому 2⁻³ = 0,125. Показатель может быть дробным для положительных оснований: 8^(1/3) = 2, потому что это то же самое, что ∛8. Обратная операция для aⁿ — корень n-й степени: если aⁿ = b, то ⁿ√b = a.
Как считаем
Возведение числа в степень (2¹⁰ = 1 024)
Обозначения. a — основание (число, которое возводим), n — показатель степени (сколько раз перемножаем). Запись aⁿ читается «a в степени n». Для целого положительного n это просто a × a × … × a (n множителей). Для отрицательного n — дробь: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Для дробного n — работает через корни: a^(m/k) = ᵏ√(aᵐ).
Формула: aⁿ = a × a × … × a (n раз)
Как посчитать пошагово.
- Задайте основание a — любое вещественное число (целое, дробное, положительное, отрицательное).
- Задайте показатель n. Для отрицательного основания показатель должен быть целым — иначе результат уходит в комплексные числа.
- Калькулятор возвращает aⁿ и обратную операцию (извлечение корня) для самопроверки.
Пример. 2¹⁰ = 1 024 — степень двойки, часто встречается в информатике (килобайт ≈ 2¹⁰ байт). 10³ = 1 000 — куб десяти. 5⁻² = 1/25 = 0,04 — отрицательный показатель даёт дробь. 0⁰ — неопределённость: калькулятор попросит ввести другие значения.
Что важно. Возведение в степень — не то же, что умножение на n: 2 × 10 = 20, а 2¹⁰ = 1 024. Рост экспоненциальный, поэтому уже при n = 30–40 обычные значения выходят за миллиард. Для больших чисел удобно использовать проценты (например, сложный процент по вкладу — это тоже (1 + r)ⁿ).
Частые вопросы
Как посчитать сложный процент по вкладу через возведение в степень?
Формула: итог = вклад·(1 + r)ⁿ, где r — годовая ставка в долях (8 % → 0,08), n — число лет капитализации. Пример: 200 000 ₽ под 10 % годовых на 3 года дают 200 000·(1,1)³ = 200 000·1,331 = 266 200 ₽. Если капитализация не годовая, а ежемесячная, ставку делят на 12 и берут n·12 периодов. Отдельный процент от промежуточного результата удобно посчитать в калькуляторе процентов.
Что означает 10⁰ и почему это 1?
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: 10⁰ = 1, 5⁰ = 1, (−7)⁰ = 1. Правило выведено из свойства степеней: aⁿ/aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а любое число, делённое само на себя, даёт единицу. Исключение — 0⁰: здесь один и тот же аргумент даёт «должно быть 0» (0 в любой положительной степени) и «должно быть 1» (любое число в нулевой), поэтому в общем случае значение не определено, и калькулятор возвращает ошибку.
Можно ли возвести 3 в степень −2?
Да, отрицательная степень даёт обратную величину: 3⁻² = 1/3² = 1/9 ≈ 0,111. Общее правило: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Единственное ограничение — основание не может быть нулём (деление на ноль): 0⁻¹ = 1/0 не существует, калькулятор выдаст ошибку. Для положительного основания и любого дробно-отрицательного показателя расчёт работает: 2⁻⁰·⁵ = 1/√2 ≈ 0,707. Отрицательные дробные степени часто встречаются в физике, где нормируют величины на единицу площади или объёма.
Как записать показатель в форму, если он дробный?
Пишите десятичной дробью с запятой или точкой: 0,5 или 0.5 — калькулятор поймёт оба варианта. Обыкновенные дроби вида «1/3» не поддерживаются напрямую, но легко переводятся: 1/3 ≈ 0,333, 3/4 = 0,75, 2/5 = 0,4. Для перевода можно взять калькулятор дробей. Точное значение вроде 8^(1/3) = 2 удобнее считать через режим «корень n-й степени» — он даёт ровно 2, без погрешности округления показателя.