Калькулятор объёма

Обозначения. a — длина ребра куба, в любых единицах длины. У куба все 12 рёбер равны, поэтому одного значения достаточно. Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого длина = ширина = высота. Объём получается в кубических единицах: м × м × м = м³, см × см × см = см³. 1 м³ = 1 000 л = 1 000 000 мл — это удобно помнить для бытовых задач с ёмкостями.

Формула: V = a³ = a × a × a

Как посчитать пошагово.

1. Измерьте ребро a. У правильного куба любое ребро подойдёт — например, длину стороны коробки.
2. Переведите в удобные единицы: если ребро 30 см, а хочется ответ в литрах — можно оставить в см (30³ = 27 000 см³ = 27 л) или сразу перевести в дм (3 дм → 27 дм³ = 27 л).
3. Возведите в третью степень: a × a × a. Промежуточно сначала a² (площадь грани), потом × a (получим объём).

Пример. Кубический аквариум с ребром 40 см. V = 40 × 40 × 40 = 64 000 см³ = 64 л. Для сравнения: стандартный контейнер 1 × 1 × 1 м = 1 м³ = 1 000 л. Если ребро задано в миллиметрах (например, деталь 20 мм) — переводите заранее, иначе куб миллиметров легко перепутать с кубом сантиметров и промахнуться в 1 000 раз.

Что важно. Не путайте ребро с диагональю грани или пространственной диагональю: диагональ грани куба длиннее ребра в √2 раз (≈ 1,414), а пространственная — в √3 раз (≈ 1,732). Если по чертежу дана только диагональ грани — сначала найдите ребро: a = d ÷ √2. Площадь всей поверхности куба, если пригодится для покраски, — это 6 × a² (см. расчёт площади прямоугольника для каждой грани отдельно).

Обозначения. r — радиус круглого основания, расстояние от центра круга до края. h — высота цилиндра, длина перпендикуляра между двумя основаниями (не длина по боковой поверхности — у прямого цилиндра они совпадают, а у наклонного нет). π ≈ 3,14159. Цилиндр = круг, «выдавленный» на высоту h, поэтому его объём — это площадь круга, умноженная на высоту.

Формула: V = π × r² × h

Как посчитать пошагово.

1. Найдите радиус основания. Если известен только диаметр D — r = D ÷ 2. Если внутренний размер бочки/трубы дан по «диаметру в свету» — берите его.
2. Посчитайте площадь основания: S = π × r². Это уже готовый квадратный метр «дна».
3. Умножьте на высоту: V = S × h. Единицы всегда кубические.
4. При задачах на объём жидкости переводите в литры: 1 м³ = 1 000 л, 1 дм³ = 1 л, 1 см³ = 1 мл.

Пример. Бочка радиусом 30 см (диаметр 60 см), высотой 90 см. r² = 900 см², площадь основания π × 900 ≈ 2 827 см². Объём: 2 827 × 90 ≈ 254 469 см³ ≈ 254 л. Для сравнения — стандартная 200-литровая бочка имеет радиус ≈ 28,5 см при высоте 89 см.

Что важно. У труб и других полых цилиндров считается объём материала стенки, а не полости: возьмите объём наружного цилиндра и вычтите объём внутреннего: V = π × (R² − r²) × h. Для расчёта веса заполнителя (бетон, вода) умножьте объём на плотность материала (вода — 1 кг/л, бетон — ≈ 2 400 кг/м³).

Обозначения. r — радиус круглого основания, h — высота: перпендикуляр от центра основания до вершины конуса. Образующая (l) — длина отрезка от края основания до вершины, идёт под углом; в формулу объёма не входит. Связь: l² = r² + h² (теорема Пифагора). Конус — это цилиндр, у которого объём в 3 раза меньше при тех же r и h, потому что тело сужается от основания к точке.

Формула: V = π × r² × h ÷ 3

Как посчитать пошагово.

1. Определите радиус основания и высоту. Если по чертежу дана только образующая l и радиус — высота: h = √(l² − r²).
2. Найдите площадь основания как у круга: π × r².
3. Умножьте на высоту и поделите на 3: V = π × r² × h ÷ 3. Порядок арифметики не важен.

Пример. Насыпь щебня в форме конуса: радиус основания 2 м, высота 1,5 м. π × r² = π × 4 ≈ 12,57 м². V = 12,57 × 1,5 ÷ 3 ≈ 6,28 м³. Для сравнения: цилиндр той же формы дал бы 12,57 × 1,5 ≈ 18,85 м³ — конус даёт ровно треть.

Что важно. Не путайте прямой конус (вершина строго над центром основания) с наклонным: у наклонного тоже h — это высота (перпендикуляр от вершины до плоскости основания), но её проекция уже не совпадает с центром круга. Для строительных расчётов насыпных материалов иногда используют «угол естественного откоса» — например, у щебня ≈ 40°, тогда h = r × tg(40°) ≈ 0,84 × r. Усечённый конус (без верхушки) считается по отдельной формуле: V = π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3.

Обозначения. r — радиус шара, расстояние от центра до любой точки на поверхности. d — диаметр, d = 2r. Шар — трёхмерный аналог круга: его объём растёт как куб радиуса, поэтому увеличение радиуса вдвое даёт увеличение объёма в 8 раз. Формула получена интегрированием — вручную её не выведешь без матанализа, но пользоваться легко.

Формула через радиус: V = (4 ÷ 3) × π × r³

Формула через диаметр: V = π × d³ ÷ 6

Как посчитать пошагово.

1. Найдите радиус. Если известен только диаметр — поделите пополам. Если известна длина большого круга (экватора) L — r = L ÷ (2π).
2. Возведите в куб: r × r × r. Здесь легко ошибиться в единицах: 10 см в кубе — это 1 000 см³, а не 30 см³.
3. Умножьте на 4π ÷ 3 (это ≈ 4,189). Или используйте эквивалентный «однострочник»: V ≈ 4,189 × r³.

Пример. Футбольный мяч радиусом 11 см. r³ = 11 × 11 × 11 = 1 331 см³. V = (4 ÷ 3) × π × 1 331 ≈ 4,189 × 1 331 ≈ 5 575 см³ ≈ 5,58 л. Другой пример: планета Земля с радиусом 6 371 км имеет объём ≈ 1,083 × 10¹² км³ — этот масштаб быстро выходит за пределы бытовых задач.

Что важно. Полусфера (купол, чаша) имеет ровно половину объёма шара: V = (2 ÷ 3) × π × r³. Шаровой сегмент (срез шара плоскостью) считается по отдельной формуле, включающей высоту сегмента. Для приблизительной оценки в быту (мяч, ёлочный шар) можно использовать грубое правило: объём шара ≈ 0,52 × d³, что даёт ошибку не больше 0,1 %.

Обозначения. a и b — стороны прямоугольного основания. h — высота пирамиды: перпендикуляр от плоскости основания до вершины. Боковое ребро — отрезок от угла основания до вершины, идёт под углом и всегда длиннее высоты; в формулу объёма оно не входит. Как и у конуса, объём пирамиды — ровно треть от «параллелепипеда» с тем же основанием и высотой. Для квадратной пирамиды введите a = b — формула сработает как частный случай.

Формула: V = a × b × h ÷ 3

Как посчитать пошагово.

1. Определите размеры основания. Для прямоугольного основания достаточно двух смежных сторон a и b — используйте формулу площади прямоугольника: S = a × b.
2. Найдите высоту h. Если высота не задана напрямую, а даны боковое ребро l и половина диагонали основания d/2, то h = √(l² − (d/2)²).
3. Умножьте площадь основания на высоту и поделите на 3: V = S × h ÷ 3.

Пример. Египетская пирамида Хеопса (правильная квадратная): a = b = 230,4 м, h = 146,6 м. V = 230,4 × 230,4 × 146,6 ÷ 3 ≈ 2 594 000 м³ ≈ 2,6 млн кубометров. Бытовой пример: пирамидальная крыша сарая 3 × 4 м, высота 2 м. V = 3 × 4 × 2 ÷ 3 = 8 м³ — по этому объёму можно оценить, сколько тёплого воздуха задерживается под крышей.

Что важно. «Прямоугольная пирамида» и «правильная пирамида» — не одно и то же. Правильная имеет квадратное основание и вершину строго над его центром. Прямоугольная — общий случай с прямоугольным основанием. Наш калькулятор — общий: работает для обеих. Если основание — не прямоугольник, а треугольник или трапеция, объём считается через площадь основания × высоту ÷ 3 с любой формой основания — принцип тот же.