Калькулятор дробей

Обозначения. Первая дробь — n1/d1, вторая — n2/d2, где n — числитель (сколько частей взяли), d — знаменатель (на сколько равных частей поделено целое). Складывать дроби напрямую можно только когда знаменатели совпадают: если они разные, сначала приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение исходных (не обязательно самое маленькое, но всегда рабочее).

Формула: n1/d1 + n2/d2 = (n1 × d2 + n2 × d1) / (d1 × d2)

Как посчитать пошагово.

1. Умножьте числитель первой дроби на знаменатель второй: n1 × d2.
2. Умножьте числитель второй дроби на знаменатель первой: n2 × d1.
3. Сложите результаты — получите числитель ответа.
4. Знаменатель ответа — произведение исходных: d1 × d2.
5. Сократите итог, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Пример. 1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / (2×3) = 5/6. Знаменатель 6 — общий, сокращать нечего. Ещё: 3/4 + 5/6 = (3×6 + 5×4) / (4×6) = 38/24 = 19/12 после сокращения на 2. В десятичной: 19/12 ≈ 1,5833.

Что важно. Если знаменатели одинаковые (1/5 + 2/5), общий знаменатель уже есть — просто сложите числители: 1/5 + 2/5 = 3/5. Калькулятор всё равно применит универсальную формулу, но результат будет тем же после сокращения.

Обозначения. Те же n1/d1 и n2/d2. Схема ровно как при сложении, только со знаком минус. Результат может быть отрицательным — если вторая дробь больше первой; знак сохраняется в числителе, знаменатель всегда положительный.

Формула: n1/d1 − n2/d2 = (n1 × d2 − n2 × d1) / (d1 × d2)

Как посчитать пошагово.

1. Приведите дроби к общему знаменателю — умножьте числитель каждой на знаменатель другой.
2. Вычтите: n1 × d2 − n2 × d1 — это числитель ответа. Знак важен, порядок операндов менять нельзя.
3. Знаменатель ответа — произведение d1 × d2.
4. Сократите итог на НОД числителя и знаменателя.

Пример. 3/4 − 1/6 = (3×6 − 1×4) / (4×6) = 14/24 = 7/12 после сокращения на 2. Обратный порядок: 1/6 − 3/4 = (1×4 − 3×6) / (6×4) = −14/24 = −7/12 — то же по модулю, знак противоположный.

Что важно. Смешанные числа (2 1/3) перед вычислением переводите в неправильную дробь: 2 1/3 = 7/3. Обратно калькулятор показывает и как неправильную дробь, и как смешанное число (если |числитель| ≥ знаменателя).

Обозначения. n1/d1 и n2/d2. Умножение — самая простая операция над дробями: числители перемножаются, знаменатели перемножаются, приводить к общему знаменателю не нужно. Результат — тоже дробь, которую нужно сократить.

Формула: n1/d1 × n2/d2 = (n1 × n2) / (d1 × d2)

Как посчитать пошагово.

1. Перемножьте числители — это числитель ответа.
2. Перемножьте знаменатели — это знаменатель ответа.
3. Сократите итог на НОД. Часто удобнее сократить крест-накрест до умножения (n1 с d2 и n2 с d1) — арифметика проще, ответ тот же.

Пример. 2/3 × 4/5 = 8/15 — сокращать не на что, ответ окончательный. Ещё: 6/8 × 4/9 = 24/72 = 1/3 после сокращения. Крест-накрест до умножения: 6 и 9 делятся на 3, 4 и 8 делятся на 4 → (6/3 × 4/4) / (8/4 × 9/3) = (2 × 1) / (2 × 3) = 2/6 = 1/3 — ответ тот же, но с меньшими числами.

Что важно. Умножение дроби на целое число — частный случай: k × n/d = kn/d (число трактуется как k/1). Умножение дроби на дробь всегда даёт результат меньше каждого множителя, если обе дроби меньше единицы: 1/2 × 1/2 = 1/4, что меньше и половины. Ту же формулу применяют в геометрии: площадь прямоугольника со сторонами-дробями считается умножением числителей и знаменателей — для расчёта в квадратных метрах и других фигурах есть калькулятор площади.

Обозначения. n1/d1 — делимое, n2/d2 — делитель. Правило: делить на дробь — то же, что умножать на перевёрнутую (обратную). Обратная к n2/d2 — это d2/n2. Так деление сводится к умножению, а его правила уже известны.

Формула: n1/d1 ÷ n2/d2 = (n1 × d2) / (d1 × n2)

Как посчитать пошагово.

1. Убедитесь, что n2 ≠ 0 — на дробь с нулевым числителем делить нельзя (это деление на ноль).
2. Переверните вторую дробь: n2/d2 становится d2/n2.
3. Умножьте первую на перевёрнутую вторую: n1 × d2 в числителе, d1 × n2 в знаменателе.
4. Сократите итог на НОД.

Пример. 3/4 ÷ 2/5 = (3×5) / (4×2) = 15/8 = 1 7/8 в смешанном виде, или 1,875 в десятичной. Ещё: 1/2 ÷ 1/4 = (1×4) / (2×1) = 4/2 = 2. Интуитивно: в половине помещается два раза по четверти — ответ подтверждается.

Что важно. Деление дроби меньше единицы на дробь меньше единицы часто даёт результат больше единицы: 1/4 ÷ 1/8 = 2. Это отличается от целочисленного деления, где меньшее делить на большее даёт ответ меньше единицы (5 ÷ 10 = 0,5).

Обозначения. Дробь n/d — это то же, что n ÷ d. Чтобы получить десятичное представление, достаточно поделить числитель на знаменатель обычным делением. Некоторые дроби переводятся точно (получается конечная десятичная запись), другие — только приблизительно (получается периодическая, бесконечно повторяющаяся часть).

Формула: Десятичная = n / d

Как посчитать пошагово.

1. Сначала сократите дробь (это не влияет на результат, но упрощает счёт): 6/8 = 3/4.
2. Поделите числитель на знаменатель: 3 ÷ 4 = 0,75.
3. Если после запятой пошло повторение цифр (например, 1/3 = 0,333…) — это периодическая дробь; калькулятор округляет её до нескольких знаков.

Пример. 5/8 = 0,625 — конечная десятичная запись, потому что 8 = 2³ (знаменатель разлагается только на двойки и пятёрки). 1/3 = 0,333333… — период «3». 22/7 ≈ 3,142857 — старое приближение числа π. 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75 — самые частые бытовые дроби.

Что важно. Дробь имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда после сокращения знаменатель содержит только множители 2 и 5. Всё остальное — периодические дроби. Для сравнения дробей десятичный вид обычно удобнее: 3/8 = 0,375 явно меньше 2/5 = 0,4. Та же запись используется в процентах: 3/8 = 0,375 = 37,5 %, а обратный перевод и смежные задачи (скидка, наценка, разница) удобно считать через калькулятор процентов.

Обозначения. Сократить дробь n/d — значит найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и поделить оба на него. Дробь при этом не меняет значения, но становится проще: 12/18 и 2/3 — это одно и то же число, но 2/3 уже нельзя сократить.

Формула: n/d = (n ÷ НОД) / (d ÷ НОД)

Как посчитать пошагово.

1. Найдите НОД числителя и знаменателя — самое большое число, на которое оба делятся без остатка.
2. Поделите числитель на НОД — получится новый числитель.
3. Поделите знаменатель на НОД — получится новый знаменатель.
4. Если знаменатель после сокращения стал единицей — дробь оказалась целым числом (например, 15/5 = 3).

Пример. 12/18: НОД(12, 18) = 6 → 12÷6 / 18÷6 = 2/3. Ещё: 45/60 = 3/4 (НОД = 15). 100/25 = 4/1 = 4 (сокращается до целого). Дробь 7/11 — уже сокращена, потому что 7 и 11 взаимно простые (общих делителей кроме 1 нет).

Что важно. Знак дроби сохраняется: −12/18 = −2/3. Если знаменатель был отрицательным (например, 5/−7), калькулятор автоматически переносит минус в числитель: −5/7. Такая форма записи — стандарт: знаменатель всегда положительный, знак живёт в числителе.