Сокращение дроби
Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, перевод в десятичную и сокращение — с формулой в результате.
Выберите операцию
Приводит дробь n/d к несократимому виду — делит числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Формула: Сокращённая = (n ÷ НОД) / (d ÷ НОД). Дробь при этом не меняет значения (12/18 и 2/3 — это одно и то же число 0,6666…), но становится проще в записи и удобнее для арифметики с другими дробями.
Живые примеры. 12/18 сокращается на 6 → 2/3. 45/60 сокращается на 15 → 3/4. 100/25 сокращается на 25 → 4/1 = 4 (получилось целое число). 7/11 не сокращается, потому что 7 и 11 — взаимно простые (общих делителей кроме 1 нет). Знак сохраняется: −12/18 = −2/3.
Где нужно. Ответы задач обычно требуют несократимого вида — это стандарт математической записи. Сравнение дробей — сокращённые проще сравнивать без общего знаменателя: 6/8 против 5/6 сложнее, чем 3/4 против 5/6. Дальнейшая арифметика — сокращённые числа проще перемножать и складывать. Финансовые доли — 6/8 акций и 3/4 акций записывают как 3/4 (стандартная форма).
Что можно прикинуть. Если оба числа чётные — делится на 2 (сразу). Если оба заканчиваются на 0 или 5 — делится на 5. Если сумма цифр числителя и знаменателя делится на 3 — делится на 3 (12 + 18 = 30, значит на 3; и правда, 12/18 = 4/6 после первого сокращения). Если знаменатель после сокращения равен единице — дробь оказалась целым числом (15/5 = 3).
Как считаем
Сокращение дроби (12/18 → 2/3)
Обозначения. Сократить дробь n/d — значит найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и поделить оба на него. Дробь при этом не меняет значения, но становится проще: 12/18 и 2/3 — это одно и то же число, но 2/3 уже нельзя сократить.
Формула: n/d = (n ÷ НОД) / (d ÷ НОД)
Как посчитать пошагово.
- Найдите НОД числителя и знаменателя — самое большое число, на которое оба делятся без остатка.
- Поделите числитель на НОД — получится новый числитель.
- Поделите знаменатель на НОД — получится новый знаменатель.
- Если знаменатель после сокращения стал единицей — дробь оказалась целым числом (например, 15/5 = 3).
Пример. 12/18: НОД(12, 18) = 6 → 12÷6 / 18÷6 = 2/3. Ещё: 45/60 = 3/4 (НОД = 15). 100/25 = 4/1 = 4 (сокращается до целого). Дробь 7/11 — уже сокращена, потому что 7 и 11 взаимно простые (общих делителей кроме 1 нет).
Что важно. Знак дроби сохраняется: −12/18 = −2/3. Если знаменатель был отрицательным (например, 5/−7), калькулятор автоматически переносит минус в числитель: −5/7. Такая форма записи — стандарт: знаменатель всегда положительный, знак живёт в числителе.
Частые вопросы
Что такое НОД и как его найти в уме?
НОД — наибольший общий делитель, самое большое число, на которое оба (числитель и знаменатель) делятся без остатка. Быстрые способы: 12 и 18 — оба чётные, делим на 2 → 6 и 9, потом оба делятся на 3 → 2 и 3, дальше не сокращается, значит НОД(12, 18) = 6. Для больших чисел работает алгоритм Евклида: 18 ÷ 12 = 1 остаток 6; 12 ÷ 6 = 2 остаток 0; ответ — 6 (последний ненулевой остаток).
Что делать со знаком у отрицательной дроби?
Знак сохраняется и после сокращения — он всегда живёт в числителе, знаменатель положительный. Пример: −12/18 = −2/3 (знак в числителе). Если знаменатель был отрицательным (5/−7), калькулятор автоматически перенесёт минус в числитель: 5/−7 → −5/7. Если оба отрицательные (−6/−8), знаки взаимно уничтожаются: 6/8 = 3/4.
Что если дробь уже сокращена?
Калькулятор вернёт её без изменений. Такие дроби называются несократимыми — числитель и знаменатель взаимно простые (не имеют общих делителей кроме 1). Примеры несократимых: 1/2, 2/3, 3/4, 5/7, 8/9, 11/13. Как понять сразу: если числитель и знаменатель — простые числа и не равны друг другу, дробь несократима гарантированно (2/3, 5/7, 11/13).
Когда результат сокращения — целое число?
Когда знаменатель после сокращения становится единицей. Это значит, что исходный знаменатель был делителем числителя: 15/5 → 3/1 = 3, потому что 15 делится на 5 нацело. Или 100/25 → 4. Обратная ситуация — знаменатель больше числителя после сокращения, ответ меньше единицы: 3/4, 5/6 и т.д.