Умножение дробей
Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, перевод в десятичную и сокращение — с формулой в результате.
Выберите операцию
Умножает две дроби: n1/d1 × n2/d2. Самая простая операция — числители перемножаются, знаменатели перемножаются, приводить к общему знаменателю не нужно. Формула: (n1 × n2) / (d1 × d2), затем сокращение на НОД. Часто удобнее сокращать крест-накрест до умножения — арифметика проще, ответ тот же.
Где встречается в жизни. Геометрия — площадь прямоугольника со сторонами-дробями: 3/4 м × 2/5 м = 6/20 = 3/10 м². Вероятности — событие А случилось, потом событие Б: если оба независимы, вероятности перемножаются (1/2 × 1/3 = 1/6). Пропорции в рецептах — уменьшить порции: 3/4 стакана муки × 1/2 (половина порции) = 3/8 стакана. Финансы — доля от доли: 20 % от 30 % — это 6 % (1/5 × 3/10 = 3/50 = 6/100).
Что можно прикинуть в уме. Умножение двух дробей меньше единицы всегда даёт результат меньше каждого множителя: 1/2 × 1/2 = 1/4 (меньше и половины). Умножение на 1/N — то же, что деление на N: 6 × 1/3 = 2. Умножение на N/N (например, 3/3) не меняет число: 5/6 × 3/3 = 15/18 = 5/6 после сокращения.
С отрицательными знаки работают как в обычной арифметике: минус × плюс = минус, минус × минус = плюс. −2/3 × 3/5 = −6/15 = −2/5. −1/2 × −1/2 = 1/4.
Как считаем
Умножение дробей (2/3 × 4/5)
Обозначения. n1/d1 и n2/d2. Умножение — самая простая операция над дробями: числители перемножаются, знаменатели перемножаются, приводить к общему знаменателю не нужно. Результат — тоже дробь, которую нужно сократить.
Формула: n1/d1 × n2/d2 = (n1 × n2) / (d1 × d2)
Как посчитать пошагово.
- Перемножьте числители — это числитель ответа.
- Перемножьте знаменатели — это знаменатель ответа.
- Сократите итог на НОД. Часто удобнее сократить крест-накрест до умножения (n1 с d2 и n2 с d1) — арифметика проще, ответ тот же.
Пример. 2/3 × 4/5 = 8/15 — сокращать не на что, ответ окончательный. Ещё: 6/8 × 4/9 = 24/72 = 1/3 после сокращения. Крест-накрест до умножения: 6 и 9 делятся на 3, 4 и 8 делятся на 4 → (6/3 × 4/4) / (8/4 × 9/3) = (2 × 1) / (2 × 3) = 2/6 = 1/3 — ответ тот же, но с меньшими числами.
Что важно. Умножение дроби на целое число — частный случай: k × n/d = kn/d (число трактуется как k/1). Умножение дроби на дробь всегда даёт результат меньше каждого множителя, если обе дроби меньше единицы: 1/2 × 1/2 = 1/4, что меньше и половины. Ту же формулу применяют в геометрии: площадь прямоугольника со сторонами-дробями считается умножением числителей и знаменателей — для расчёта в квадратных метрах и других фигурах есть калькулятор площади.
Частые вопросы
Правда ли, что умножать проще, чем складывать?
Да, приводить к общему знаменателю не нужно — этот шаг занимает больше всего времени при сложении. При умножении просто перемножаются числители и знаменатели, а потом результат сокращается. Особенно легко считать, когда одну сторону можно сократить с числителем другой до умножения (6/8 × 4/9 = 6×4 / 8×9, но 6 и 9 делятся на 3, а 4 и 8 — на 4, поэтому 2×1 / 2×3 = 1/3).
Что означает «умножение дробей»?
Взять часть от части. 1/2 × 1/3 = 1/6 — «одна треть от одной второй равна одной шестой». Или наоборот: «половина от одной трети равна одной шестой». Формально: доля исходного количества, равного результату. Умножение коммутативно — от перемены множителей результат не меняется.
Умножение целого числа на дробь работает?
Да, целое трактуется как дробь со знаменателем 1: 5 = 5/1. Пример: 5 × 2/3 = 5/1 × 2/3 = 10/3 = 3 1/3. На практике удобнее вычислять сразу: (целое × числитель) / знаменатель. 5 × 2/3 = 10/3.
Умножение на дробь всегда уменьшает число?
Только если множитель меньше единицы. 10 × 1/2 = 5 (уменьшилось), 10 × 3/4 = 7,5. Если дробь больше единицы (неправильная), число увеличивается: 10 × 3/2 = 15. Умножение на 1 (или на 5/5, 3/3 и т.д.) оставляет число без изменений — как в целой арифметике.