Посчитай

Среднее геометрическое ряда чисел

Онлайн-расчёт среднего арифметического, геометрического, медианы и моды для списка чисел.

Выберите способ вычисления. Формула и вывод изменятся автоматически.
Введите числа через пробел, запятую, точку с запятой или новую строку. Минимум 2 числа. Десятичный разделитель — точка или запятая (например, 3.5 или 3,5). Для геометрического среднего все числа должны быть больше нуля.
Заполните форму — здесь появится результат.

О калькуляторе

Калькулятор считает среднее геометрическое — вид среднего, который применяется, когда значения перемножаются, а не складываются. Формула: G = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) — корень n-й степени из произведения n чисел. Основные области применения: среднегодовая доходность вкладов, инвестиций и портфелей, средний темп роста цен или ключевых метрик бизнеса, средний коэффициент в цепочке усиления или ослабления. Классический пример: вклад за 3 года вырос сначала на 10 %, потом на 15 %, потом на 20 %. Наивный подход — взять среднее арифметическое от процентов — завышает результат. Правильно считать через коэффициенты роста: ³√(1,10 · 1,15 · 1,20) ≈ 1,149, то есть средняя доходность около 14,9 % год. Именно эта величина, если её применять три года подряд к начальному вкладу, даст тот же итог, что фактический ряд процентов. Важное ограничение: все числа должны быть строго положительными — корень n-й степени из произведения с нулём равен нулю, а с отрицательным множителем определён только для нечётных n. Калькулятор проверит это и подскажет, если условие нарушено. Проценты самой доходности удобно проверить через калькулятор процентов, а другие типы среднего (арифметическое, медиана, мода) — в общем калькуляторе среднего значения.

Как считаем

Среднее геометрическое: корень n-й степени из произведения

Обозначения. x₁, …, xₙ — числа ряда (должны быть строго положительными), n — их количество, G — геометрическое среднее. Используется для усреднения величин с одинаковой природой роста: доходности, коэффициентов, отношений «во столько-то раз».

Формула: G = ⁿ√(x₁ × x₂ × … × xₙ), то есть G = (∏ xᵢ)^(1 ÷ n)

Как посчитать пошагово.

  1. Убедитесь, что все числа больше нуля. Ноль или отрицательное число делает формулу неопределённой — калькулятор в этом случае покажет ошибку.
  2. Перемножьте все числа между собой — получите произведение ∏ xᵢ.
  3. Извлеките корень n-й степени: возведите произведение в степень 1 ÷ n. Результат — геометрическое среднее.

Пример. Доходность депозита за 3 года — 108 %, 112 %, 106 % (то есть коэффициенты 1,08; 1,12; 1,06). Средняя годовая доходность = ³√(1,08 × 1,12 × 1,06) = ³√1,28218 ≈ 1,0864 — то есть 8,64 % годовых. Арифметическое дало бы 8,67 % — небольшая, но значимая ошибка для длинных горизонтов.

Что важно. Геометрическое среднее всегда меньше или равно арифметическому (неравенство Коши). Разница тем больше, чем сильнее разброс чисел. Для одинаковых чисел они совпадают. В финансах геометрическое среднее — единственно правильный способ усреднить темпы роста; используйте калькулятор процентов, если нужно перевести коэффициенты в проценты и обратно.

Частые вопросы

Как посчитать средний процент роста вклада за несколько лет?

Переведите каждый годовой прирост в коэффициент роста: «вырос на 10 %» → 1,10; «вырос на 15 %» → 1,15; «упал на 5 %» → 0,95. Введите эти коэффициенты в калькулятор и получите среднее геометрическое — это средний коэффициент роста за год. Вычтите единицу и умножьте на 100 % — получите средний процент роста. Пример: ³√(1,10 · 1,15 · 1,20) ≈ 1,149, средний темп роста ≈ 14,9 % год. Если применять эту доходность три года подряд, начальный вклад увеличится ровно так же, как при фактической цепочке 10 % → 15 % → 20 %. Такой подход применим ко всем «сложно-процентным» метрикам: индексы, инфляция, темпы роста аудитории.

Почему нельзя брать среднее арифметическое от процентов?

Потому что проценты — это мультипликативная величина: каждый следующий процент считается от новой базы, а не от исходной. Пример: вложили 100 ₽. За год ставка +50 % → 150 ₽. За второй год −50 % → 75 ₽. Итог: минус 25 % за два года, а среднее арифметическое даст обманчивый ноль ((50 − 50) / 2). Геометрическое среднее коэффициентов: ²√(1,5 · 0,5) = ²√0,75 ≈ 0,866, то есть −13,4 % год — именно такой средний годовой убыток соответствует потере 25 % за 2 года. Это же правило работает для инфляции, курсов валют и любых цепных индексов.

Что делать, если в ряду есть ноль или отрицательное число?

Среднее геометрическое не определено для рядов с нулём или отрицательным значением: произведение с нулём даёт ноль (тогда среднее = 0, что бессмысленно для «средней» величины), а корень чётной степени из отрицательного числа не существует в вещественных числах. Калькулятор предупредит об этом и укажет, какие именно значения нарушают правило. Если задача действительно про проценты — переведите их в коэффициенты (см. вопрос выше), тогда «минус 30 %» превратится в положительное число 0,70, и расчёт станет корректным. Если ноль появился как «в этом году не заработали» — задача плохо поставлена, среднее геометрическое здесь неприменимо; рассмотрите арифметическое или медиану.

Когда геометрическое среднее равно арифметическому?

Только когда все числа ряда равны между собой. Во всех остальных случаях действует неравенство Коши: среднее геометрическое всегда меньше или равно среднему арифметическому тех же чисел. Чем сильнее разброс значений, тем больше разрыв. Пример: для ряда 1 и 100 арифметическое = 50,5, а геометрическое = √100 = 10 — разница пятикратная. Именно поэтому в задачах о процентах и мультипликативных величинах геометрическое среднее считается «честнее»: оно не позволяет большому одноразовому росту перекрыть все просадки. Проверить величину разрыва на конкретном ряде можно, поочерёдно посчитав в режиме арифметического среднего и в геометрическом.

Как посчитать среднегеометрический темп роста метрики?

Стандартная задача: аудитория сайта за 4 квартала выросла с 10 000 до 20 000 посетителей (рост × 2 за год). Каким был средний квартальный темп роста? Простой ответ через геометрическое среднее: корень 4-й степени из 2 ≈ 1,189, то есть примерно 18,9 % за квартал. Проверка: 10 000 · 1,189⁴ ≈ 20 000. Если известны все промежуточные значения (10 000, 12 000, 15 000, 17 000, 20 000) — переведите каждый переход в коэффициент: 12/10 = 1,20; 15/12 = 1,25; 17/15 ≈ 1,133; 20/17 ≈ 1,176, и посчитайте геометрическое среднее этих четырёх коэффициентов — получите тот же средний темп.

Другие типы среднего

Проценты Процент от числа и число по проценту, разница в процентах, наценка и скидка — с формулой в результате. Дроби Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, перевод в десятичную и сокращение — с формулой в результате. Степени и корни Возведение числа в степень и извлечение корней — квадратного, кубического и корня любой степени. Для каждого расчёта показывает формулу с надстрочным показателем и проверку обратной операцией. НОД и НОК Расчёт наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) для двух и более целых чисел онлайн — с простым разложением и алгоритмом Евклида.