Калькулятор по теореме Пифагора
Находит гипотенузу или катет прямоугольного треугольника по двум известным сторонам. Формула a² + b² = c².
Как работает калькулятор
Калькулятор применяет теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: a² + b² = c², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Введите две известные стороны — калькулятор найдёт третью. Работает в двух режимах: расчёт гипотенузы c = √(a² + b²) и расчёт катета b = √(c² − a²). Для связанных задач о площади есть калькулятор площади.
Как считаем
Теорема Пифагора: a² + b² = c²
Обозначения. a и b — катеты, две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла (всегда самая длинная сторона). Теорема Пифагора — базовое соотношение в геометрии: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Работает только в прямоугольном треугольнике (один из углов равен 90°) — для произвольного треугольника обобщение даётся теоремой косинусов.
Теорема: a² + b² = c²
Гипотенуза: c = √(a² + b²)
Катет: b = √(c² − a²)
Как посчитать пошагово.
- Убедитесь, что треугольник прямоугольный. Один угол должен быть равен 90° — только для такой конфигурации работает теорема.
- Выберите режим. Если ищете гипотенузу — введите оба катета a и b. Если ищете катет — введите гипотенузу c и известный катет a. Гипотенуза при этом должна быть строго больше катета (иначе под корнем окажется отрицательное число, треугольник не существует).
- Калькулятор возводит стороны в квадрат, складывает или вычитает по формуле и извлекает квадратный корень. Результат — длина искомой стороны в тех же единицах, что и введённые.
- Проверка: подставьте найденную сторону обратно в равенство a² + b² = c² — левая и правая часть должны совпасть.
Пример 1 (гипотенуза). Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Это классическая «египетская тройка» 3-4-5. Пример 2 (катет). Известны гипотенуза 13 и катет 5. b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Тройка Пифагора 5-12-13. Пример 3 (дробный). Катеты 1 и 1. c = √(1 + 1) = √2 ≈ 1,414214 — иррациональное значение.
Что важно. Теорема Пифагора применяется не только в геометрии: расстояние между двумя точками на плоскости с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) считается как √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) — та же формула. В строительстве по ней проверяют прямоугольность углов (правило «3-4-5»): если стороны 3 м и 4 м, диагональ должна быть ровно 5 м. Для расчёта площади прямоугольного треугольника достаточно знать катеты: S = a × b / 2, гипотенуза для площади не нужна.
Частые вопросы
Как найти гипотенузу по двум катетам?
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Её длина считается по формуле c = √(a² + b²). Например, при катетах 3 и 4 получим c = √(9 + 16) = √25 = 5. Калькулятор в режиме «найти гипотенузу» выполняет этот расчёт автоматически и показывает округлённый результат.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Формула переворачивается: b = √(c² − a²). Обязательное условие — гипотенуза c должна быть больше катета a, иначе под корнем окажется отрицательное число. Например, при c = 13 и a = 5 второй катет b = √(169 − 25) = √144 = 12. Работа с корнями подробнее разобрана в калькуляторе степеней и корней.
Когда теорема Пифагора не применяется?
Теорема работает только для прямоугольных треугольников — тех, у которых один из углов равен 90°. Для остроугольных и тупоугольных треугольников используется обобщённая теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos(γ). Если про треугольник неизвестно, прямоугольный ли он, теорему Пифагора применять нельзя — результат окажется неверным.
Что такое пифагоровы тройки?
Пифагоровы тройки — это наборы из трёх целых чисел, для которых выполняется равенство a² + b² = c². Самые известные: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Такие тройки встречаются в задачах строительства и разметки прямых углов на местности. Если катеты и гипотенуза целые — треугольник называют пифагоровым.
Как проверить, является ли треугольник прямоугольным?
Возьмите три стороны и обозначьте самую длинную как c, а две другие как a и b. Посчитайте a² + b² и сравните с c². Если значения равны, треугольник прямоугольный, а угол напротив стороны c равен 90°. Если a² + b² > c², треугольник остроугольный; если a² + b² < c² — тупоугольный. По сторонам также можно посчитать периметр треугольника.
Как теорема связана с расстоянием между точками на плоскости?
Расстояние между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) в декартовой системе координат считается по формуле d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Это прямое применение теоремы Пифагора: разности координат — катеты прямоугольного треугольника, а искомое расстояние — гипотенуза. Формула работает и для трёхмерного пространства с третьим слагаемым (z₂ − z₁)².