Калькулятор квадратного уравнения
Дискриминант D = b² − 4ac и корни уравнения ax² + bx + c = 0. Разбирает случаи двух корней, одного корня и отсутствия действительных корней.
Как работает калькулятор
Калькулятор решает квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0. Введите коэффициенты a, b и c — расчёт покажет дискриминант D = b² − 4ac и корни по формуле x = (−b ± √D) / 2a. Разбираются все случаи: два корня, один корень и отсутствие действительных корней. Работа с корнями связана с калькулятором степеней и корней.
Как считаем
Дискриминант и формула корней квадратного уравнения
Обозначения. a, b, c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0: a при x² (старший, не равен нулю), b при x, c — свободный член. D — дискриминант, определяет число вещественных корней. x₁, x₂ — корни уравнения (значения переменной x, при которых равенство обращается в верное). Слово «квадратное» — потому что старшая степень x равна двум.
Дискриминант: D = b² − 4ac
Корни: x = (−b ± √D) / (2a)
Как посчитать пошагово.
- Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0 (все члены слева, справа ноль). Убедитесь, что a ≠ 0 — иначе это линейное уравнение bx + c = 0, у которого один корень x = −c/b.
- Вычислите дискриминант: D = b² − 4ac. Знак результата определяет число корней.
- Если D > 0 — два разных корня: x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a). Если D = 0 — один корень (двукратный): x = −b / (2a). Если D < 0 — действительных корней нет (парабола не пересекает ось X, корни комплексные).
- Проверьте по теореме Виета: если корней два, x₁ + x₂ = −b/a и x₁ × x₂ = c/a. Если эти равенства выполняются — расчёт верный.
Пример 1 (два корня). x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1. √D = 1. x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Проверка Виета: 3 + 2 = 5 = −(−5)/1, 3 × 2 = 6 = 6/1 — совпало. Пример 2 (один корень). x² − 4x + 4 = 0: D = 16 − 16 = 0. x = 4 / 2 = 2 (двукратный). Пример 3 (нет корней). x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0. Действительных решений нет — парабола лежит выше оси X.
Что важно. Дискриминант — это не просто вспомогательное число, а геометрическая характеристика параболы y = ax² + bx + c. D > 0 — парабола пересекает ось X в двух точках (корни — координаты этих точек), D = 0 — касается оси в одной точке (двукратный корень), D < 0 — не пересекает. Для работы с корнями пригодится калькулятор степеней и корней — там можно посчитать √D вручную. Если коэффициенты дробные — умножьте всё уравнение на общий знаменатель, чтобы работать с целыми числами.
Частые вопросы
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Если D < 0, действительных корней у уравнения нет. Это значит, что парабола y = ax² + bx + c не пересекает ось X ни в одной точке. В школьном курсе такое уравнение считается неразрешимым; в комплексных числах корни существуют и записываются через мнимую единицу i. Калькулятор в этом случае явно сообщит, что действительных корней нет.
Что означает случай D = 0?
При D = 0 у уравнения ровно один действительный корень (иногда его называют двукратным). Он вычисляется по формуле x = −b / 2a. Геометрически это означает, что парабола касается оси X в одной точке — точке своей вершины. Такое уравнение можно записать в виде квадрата двучлена: ax² + bx + c = a(x − x₀)².
Как решать неполные квадратные уравнения?
Если b = 0, уравнение ax² + c = 0 решается прямо: x² = −c / a, откуда x = ±√(−c / a) при отрицательном отношении −c / a. Если c = 0, то ax² + bx = 0 = x(ax + b), корни x = 0 и x = −b / a. Калькулятор обрабатывает оба случая автоматически; понимание пропорций пригодится через калькулятор пропорции.
Как проверить корни по теореме Виета?
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (случай a = 1) сумма корней равна −p, а произведение равно q. Например, для x² − 5x + 6 = 0 корни 2 и 3: их сумма 5 и произведение 6 совпадают с коэффициентами. Теорема Виета — быстрый способ проверить результат калькулятора и заметить ошибку в ручном расчёте.
Как квадратное уравнение связано с параболой?
Уравнение ax² + bx + c = 0 задаёт точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью X. При D > 0 таких точек две, при D = 0 — одна (вершина касается оси), при D < 0 — ноль. Знак коэффициента a определяет направление ветвей: при a > 0 они смотрят вверх, при a < 0 — вниз.
Что делать, если коэффициенты — дроби?
Формула корней работает с любыми действительными коэффициентами: целыми, дробными и отрицательными. Введите дробь как десятичное число: например, 1/2 запишите как 0,5. Если исходные данные — обыкновенные дроби, удобно сначала привести их к общему знаменателю через калькулятор дробей, а затем подставить результат в поля.