Калькулятор факториала, перестановок и сочетаний
Факториал n!, перестановки P(n, k) и сочетания C(n, k) в одной форме. Задачи комбинаторики, лотерей и вероятностей.
Как работает калькулятор
Калькулятор факториала работает в трёх режимах. Первый считает n! — произведение всех целых чисел от 1 до n. Второй режим — перестановки P(n, k) = n! / (n − k)!, то есть число упорядоченных выборок k элементов из n. Третий — сочетания C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), где порядок не важен. Для сравнения результатов пригодится калькулятор пропорции.
Как считаем
Факториал, перестановки и сочетания — формулы и разбор
Обозначения. n — целое неотрицательное число. n! (читается «эн факториал») — произведение всех целых чисел от 1 до n включительно. По соглашению 0! = 1 (пустое произведение). P(n, k) — число способов упорядоченно выбрать k элементов из n (перестановки, важен порядок). C(n, k) — число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка (сочетания, «биномиальный коэффициент»).
Факториал: n! = 1 × 2 × 3 × … × n
Перестановки: P(n, k) = n! ÷ (n − k)!
Сочетания: C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
Как посчитать пошагово.
- Выберите режим. Для факториала введите только n. Для перестановок и сочетаний — n и k (где 0 ≤ k ≤ n).
- Калькулятор считает точно, без потерь точности: используется BigInt, поэтому даже 100! (число из 158 знаков) выводится полностью. Верхний предел n = 10 000 для стабильности браузера.
- Для больших значений в блоке «Компактная запись» дополнительно показана научная нотация (например, 100! ≈ 9,33 · 10^157) и число знаков.
Пример 1 (факториал). 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. 0! = 1. 10! = 3 628 800. Пример 2 (перестановки). P(5, 3) = 5! / 2! = 120 / 2 = 60 — столько способов выбрать 3 призёров из 5 участников с учётом мест 1-2-3. Пример 3 (сочетания). C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 — столько способов выбрать 3 победителей из 5 участников без учёта порядка (например, состав команды).
Что важно. Разница между перестановками и сочетаниями — только в учёте порядка. Если задача звучит как «сколько способов рассадить», «на сколько мест», «в каком порядке» — это перестановки. Если «сколько подгрупп», «сколько команд», «сколько сочетаний» — это сочетания. Всегда выполняется P(n, k) = C(n, k) × k! — потому что каждое сочетание из k элементов можно упорядочить k! способами. Для проверки соотношений удобно использовать калькулятор пропорции.
Частые вопросы
Чем перестановка отличается от сочетания?
Перестановка P(n, k) учитывает порядок: выбор «Анна, потом Борис» и «Борис, потом Анна» считаются разными вариантами. Сочетание C(n, k) порядок игнорирует: те же двое людей — это одна пара независимо от очерёдности. Отсюда формула: C(n, k) = P(n, k) / k!, потому что каждую неупорядоченную выборку можно расположить k! способами.
Почему 0! равен единице?
По определению 0! = 1. Это соглашение делает формулы комбинаторики согласованными: например, C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 — из n элементов ровно одним способом можно выбрать пустое множество. Если бы 0! равнялось нулю, формула давала бы деление на ноль. Такая договорённость принята во всей математике и во всех языках программирования.
Есть ли ограничение на размер n?
В обычной арифметике с плавающей точкой факториал переполняется примерно при n = 170: значение 170! ≈ 7,257 · 10³⁰⁶ ещё помещается в double, а 171! уже нет. Калькулятор поддерживает большие целые числа и корректно считает n до нескольких тысяч, но результат становится очень длинным. При работе с большими числами удобно пользоваться округлением для компактной записи.
Сколькими способами можно рассадить 5 гостей?
Классическая задача на перестановки без повторений. Ответ: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов. Если гостей нужно рассадить не всех, а только k мест из 5, применяется формула P(5, k). Например, для трёх мест: P(5, 3) = 5! / 2! = 60. Такие подсчёты часто встречаются в задачах на планирование и рассадку.
Как посчитать число комбинаций в лотерее 6 из 49?
Порядок выпадения шаров не важен, поэтому нужны сочетания: C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816. Именно столько уникальных билетов существует в этой лотерее. Вероятность угадать все шесть номеров равна 1 / 13 983 816 ≈ 0,0000000715. Подобным образом считаются вероятности выигрыша во многих азартных играх и статистических задачах.
Что такое размещение и как оно связано с перестановкой?
В русской школе «размещение из n по k» — это упорядоченная выборка k элементов из n, то же самое, что перестановка P(n, k) в международной нотации. Формула одна: A(n, k) = P(n, k) = n! / (n − k)!. Например, A(10, 3) = 720 — столько способов выбрать призёров золота, серебра и бронзы из 10 участников. Для расчёта среднего значения по выборкам пригодится отдельный калькулятор.