Наименьшее общее кратное (НОК) онлайн
Расчёт наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) для двух и более целых чисел онлайн — с простым разложением и алгоритмом Евклида.
О калькуляторе
Страница для расчёта наименьшего общего кратного (НОК) двух целых чисел. НОК — самое маленькое положительное число, которое делится на оба исходных без остатка. Пример: НОК(4, 6) = 12, потому что 12 — наименьшее число, кратное и 4, и 6 (общие кратные: 12, 24, 36, …, наименьшее — 12). Тема из школьного 6 класса, применяется при работе с дробями и в задачах на синхронизацию циклов. Смежный расчёт наибольшего общего делителя — в режиме НОД онлайн.
Основная формула: НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b). Работает всегда и быстрее, чем перебор кратных. Пример для 12 и 18: НОД = 6, поэтому НОК = 12·18/6 = 36. Пример для 10 и 15: НОД = 5, НОК = 10·15/5 = 30. Второй метод — разложение на простые множители: НОК равен произведению всех простых множителей обоих чисел в максимальных степенях. 12 = 2²·3, 18 = 2·3², берём 2 в максимальной степени 2 и 3 в максимальной степени 2: НОК = 2²·3² = 4·9 = 36. Для взаимно простых чисел (НОД = 1) НОК равен произведению: НОК(7, 15) = 105.
Главное применение — приведение дробей к общему знаменателю. Чтобы сложить 1/4 и 1/6, находим НОК(4, 6) = 12 и приводим: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12, сумма 3/12 + 2/12 = 5/12. НОК даёт минимальный знаменатель, с которым дальше удобно работать без лишних сокращений. Второе применение — задачи на цикличность: если автобусы одного маршрута ходят каждые 12 минут, второго — каждые 18, то оба вместе на остановке будут через НОК(12, 18) = 36 минут. Для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями удобен калькулятор дробей.
Как считаем
Наименьшее общее кратное — НОК(12, 18) = 36
Обозначения. НОК(a, b, …) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных без остатка. По-английски — lcm (least common multiple). Как и НОД, определён для положительных целых. Между НОД и НОК есть связь: a × b = НОД(a, b) × НОК(a, b) — этой формулой и пользуется калькулятор.
Формула: НОК(a, b) = |a × b| ÷ НОД(a, b); НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Как посчитать пошагово.
- Найдите НОД пары чисел (алгоритм Евклида — сверху). Для 12 и 18 НОД = 6.
- Перемножьте пару и разделите на НОД: 12 × 18 ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Это и есть НОК.
- Для трёх и более чисел сводите последовательно: НОК(12, 18, 24) = НОК(НОК(12, 18), 24) = НОК(36, 24) = 72.
Пример. НОК(4, 6) = 12: и 4, и 6 делят 12 (12 ÷ 4 = 3, 12 ÷ 6 = 2), меньшего общего кратного нет. НОК(7, 5) = 35 — для взаимно простых чисел НОК равен их произведению. НОК(10, 20, 25) = 100 — минимальное число, делящееся на все три.
Что важно. НОК нужен, когда надо привести дроби к общему знаменателю (общий знаменатель = НОК исходных знаменателей — минимальный, дальше делить нечего). Или найти момент, когда события снова совпадут: если два поезда отправляются раз в 12 и 18 минут, оба одновременно уйдут через НОК(12, 18) = 36 минут. При очень больших числах произведение a × b может превысить 10¹⁸, но алгоритм всё равно работает — калькулятор использует арифметику произвольной точности.
Частые вопросы
Как найти НОК через формулу?
Формула: НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b). Пример для 4 и 6: НОД(4, 6) = 2, поэтому НОК = 4·6/2 = 12. Пример для 9 и 12: НОД = 3, НОК = 9·12/3 = 36. Формула работает всегда — как для маленьких чисел, так и для больших. Для взаимно простых (НОД = 1) НОК равен произведению: НОК(5, 7) = 35. Для расчёта самого НОД есть отдельный режим НОД онлайн.
Почему НОК(4, 6) равен именно 12?
НОК(4, 6) = 12, потому что 12 — самое маленькое положительное число, которое делится и на 4, и на 6 без остатка. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; кратные 6: 6, 12, 18, 24, …. Общие: 12, 24, 36, …, минимальное — 12. По формуле: НОД(4, 6) = 2, поэтому НОК = 4·6/2 = 12. Проверка: 12/4 = 3 (без остатка), 12/6 = 2 (без остатка). Этот результат нужен, чтобы сложить дроби 1/4 и 1/6 с общим знаменателем.
Как найти НОК для сложения дробей?
Для сложения дробей с разными знаменателями нужен НОК этих знаменателей — он становится общим знаменателем. Пример: 1/6 + 1/8. НОК(6, 8) = 24. Приводим: 1/6 = 4/24, 1/8 = 3/24. Сумма: 4/24 + 3/24 = 7/24. Ещё пример: 2/3 + 5/12. НОК(3, 12) = 12 (12 само делится на 3). Приводим: 2/3 = 8/12, сумма 8/12 + 5/12 = 13/12 = 1 1/12. Готовый расчёт — в калькуляторе дробей.
Может ли НОК быть равен одному из исходных чисел?
Да, если одно число кратно другому. НОК(3, 12) = 12, потому что 12 само делится на 3 без остатка — большее число уже является кратным меньшему. Аналогично НОК(5, 25) = 25, НОК(7, 14) = 14. Общий принцип: если b делится на a (то есть a — делитель b), то НОК(a, b) = b, а НОД(a, b) = a. В любом случае НОК не меньше большего из исходных чисел, а НОД не больше меньшего. Максимальное значение НОК — произведение чисел (когда они взаимно простые).