Калькулятор площади круга

Обозначения. a — длина одной стороны, b — длина смежной с ней стороны. Единицы обязательно одинаковые (обе в метрах, или обе в сантиметрах, или обе в миллиметрах). Смежные — значит примыкающие к одному углу, а не напротив друг друга. У квадрата все стороны равны, поэтому вводим одно и то же число дважды или пользуемся частным случаем формулы.

Формула: S = a × b

Для квадрата: S = a²

Как посчитать пошагово.

1. Измерьте длину (a) и ширину (b) — от угла до угла по внутренней или внешней грани, в зависимости от задачи (пол, столешница, участок).
2. Приведите к одним единицам: если a в метрах, а b в сантиметрах — переведите оба в метры (1 м = 100 см).
3. Перемножьте: S = a × b. Результат — в квадратных единицах: м × м = м², см × см = см².
4. Если считаете плитку, ламинат или обои — прибавьте 5–10 % запаса на подрез (умножьте S на 1,05–1,10).

Пример. Комната 5,20 × 3,40 м → S = 5,20 × 3,40 = 17,68 м². С запасом 7 % на подрез плитки: 17,68 × 1,07 ≈ 18,92 м² — по этой цифре берут материал.

Что важно. Для комнаты со сложным контуром (ниша, эркер, колонна) — разбейте её на прямоугольники, посчитайте каждый и сложите; лишние прямоугольники (выступы стен внутрь) вычтите. Для квадрата не путайте площадь и периметр: периметр — это 4 × a, а площадь — это a × a.

Обозначения. r — радиус, расстояние от центра круга до любой точки на окружности. d — диаметр, отрезок через центр от одного края до другого; d = 2r. π (пи) — математическая константа, отношение длины окружности к диаметру, ≈ 3,14159. Единица площади зависит от единицы радиуса: если r в метрах — S в м², если в сантиметрах — S в см².

Формула через радиус: S = π × r²

Формула через диаметр: S = π × d² ÷ 4

Как посчитать пошагово.

1. Найдите радиус. Если известен диаметр — поделите его пополам: r = d ÷ 2. Если известна длина окружности L — r = L ÷ (2π).
2. Возведите радиус в квадрат: r² = r × r.
3. Умножьте на π (в калькуляторе — с точностью до 15 знаков; вручную обычно берут 3,14 или 3,1416).
4. Полученное число — площадь. Единицы всегда квадратные: м², см², км².

Пример. Круглый бассейн диаметром 4 м. Радиус r = 4 ÷ 2 = 2 м. Квадрат радиуса r² = 4 м². Площадь S = π × 4 ≈ 12,57 м² — по этой площади считают объём чаши, если умножить на глубину.

Что важно. В повседневных задачах круг встречается в кольцах и секторах: чтобы найти площадь кольца, вычтите из площади большого круга площадь малого (S = π × (R² − r²)); чтобы найти площадь сектора — умножьте площадь всего круга на угол сектора, поделённый на 360°.

Обозначения. a, b, c — длины трёх сторон треугольника, в одинаковых единицах. p — полупериметр, половина суммы всех сторон. Формула Герона — универсальная: работает для любого треугольника (остроугольного, прямоугольного, тупоугольного), не требует знать высоту или углы. Достаточно измерить все три стороны — например, рулеткой по земле для участка неправильной формы.

Шаг 1: p = (a + b + c) ÷ 2

Шаг 2: S = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c))

Как посчитать пошагово.

1. Проверьте, что стороны вообще образуют треугольник: сумма любых двух должна быть строго больше третьей. Если a + b ≤ c — треугольник не построится (три отрезка лягут в линию или врозь).
2. Сложите все три стороны и поделите на 2 — это полупериметр p.
3. Вычислите три разности: (p − a), (p − b), (p − c). Все они должны получиться положительными.
4. Перемножьте p × (p − a) × (p − b) × (p − c) и извлеките квадратный корень — получится площадь в квадратных единицах.

Пример. Стороны 3, 4, 5 м (классический прямоугольный треугольник). p = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6. Подкоренное выражение: 6 × (6−3) × (6−4) × (6−5) = 6 × 3 × 2 × 1 = 36. S = √36 = 6 м². Проверка школьной формулой ½ × a × h: ½ × 3 × 4 = 6 м² — совпало.

Что важно. Если известны только основание и высота (например, вы измеряли треугольный участок от одной стороны перпендикуляром к вершине), формула короче: S = ½ × a × h. Этот режим ввода добавим позднее — пока для него достаточно посчитать вручную. Если известны две стороны и угол между ними — S = ½ × a × b × sin(угол).

Обозначения. a и b — длины двух параллельных сторон трапеции; их называют основаниями. По соглашению a — нижнее (обычно длиннее), b — верхнее, но порядок в формуле не важен, потому что они складываются. h — высота: перпендикулярное расстояние между основаниями, а не длина боковой стороны. У наклонной трапеции боковая сторона длиннее высоты — путать их нельзя.

Формула: S = (a + b) × h ÷ 2

Как посчитать пошагово.

1. Определите, какие стороны параллельны — только их и берём как a и b. Две другие стороны (боковые) в формулу площади не входят.
2. Измерьте высоту h — расстояние по перпендикуляру от одного основания до другого. Если трапеция стоит на плоскости, это её «толщина» по вертикали.
3. Сложите основания: a + b.
4. Умножьте сумму на высоту и поделите пополам: (a + b) × h ÷ 2. Результат — площадь.

Пример. Участок в форме трапеции: короткая сторона у забора — 4 м, длинная у дороги — 6 м, глубина участка (перпендикуляр между забором и дорогой) — 3 м. S = (4 + 6) × 3 ÷ 2 = 10 × 3 ÷ 2 = 15 м².

Что важно. Если трапеция равнобокая и известна длина боковой стороны l и угол наклона α, то высоту можно найти как h = l × sin(α). У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон сама и есть высота — измерять отдельный перпендикуляр не нужно.

Обозначения. a — длина стороны, которую берём за основание (любая из двух пар параллельных сторон подойдёт — противоположные равны). h — высота к этому основанию: перпендикуляр из противоположной стороны на прямую, содержащую основание. У наклонного параллелограмма высота короче боковой стороны — это ключевой момент, из-за которого чаще всего ошибаются. Ромб — частный случай, у него все стороны равны, но формула та же.

Формула: S = a × h

Как посчитать пошагово.

1. Выберите одну из сторон и назовите её основанием a — от неё будете отмерять высоту.
2. Восстановите перпендикуляр из противоположной стороны к основанию (или к прямой, на которой лежит основание) — это высота h. Не берите длину боковой стороны: она идёт под углом и всегда длиннее высоты.
3. Перемножьте a × h. Результат — площадь в квадратных единицах.

Пример. Участок в форме параллелограмма: основание 5 м, высота (перпендикулярное расстояние до параллельной стороны) — 4 м. Боковая сторона при этом 4,5 м — её в формулу не берём. S = 5 × 4 = 20 м². Если бы мы ошибочно взяли боковую сторону, получили бы 5 × 4,5 = 22,5 м² — завышение на 12,5 %.

Что важно. Для ромба есть удобная альтернативная формула через диагонали: S = d₁ × d₂ ÷ 2, где d₁ и d₂ — длины диагоналей. Ей часто пользуются, когда измерить перпендикулярную высоту сложно, а диагонали — легко (например, у мозаичной плитки, ромбовидной клумбы). Прямоугольник — тоже частный случай параллелограмма с высотой, равной боковой стороне.